📘 Lesson · Lesson 81

Pascals Triangle

Q: हर row में कितने numbers होते हैं?

Row i (0 से गिनते हुए) में i + 1 numbers होते हैं। तो row 0 में 1 number, row 1 में 2, row 2 में 3, वग़ैरह — triangle हर row एक-एक चौड़ा होता जाता है।

Pascal's Triangle क्या है

Pascal's Triangle एक प्रसिद्ध number pattern है जो त्रिकोण के आकार का होता है। हर row 1 से शुरू और ख़त्म होती है, और अंदर का हर number अपने ठीक ऊपर के दो numbers का जोड़ होता है। यह classic programming अभ्यास है क्योंकि इसे nested loops और एक सरल formula चाहिए।

💡 किनारे हमेशा 1 होते हैं, और अंदर का हर number = ऊपर के दो numbers जोड़कर।

Pattern और नियम

यहाँ पहली पाँच rows हैं:

Row 4 देखिए (1 4 6 4 1): बीच का 6 ऊपर की row से 3 + 3 है। अंदर का हर number इस "ऊपर के दो का जोड़" नियम का पालन करता है, जबकि सिरे 1 रहते हैं।

C++ program

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int rows = 5;
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        int val = 1;                 // हर row का पहला number 1
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            cout << val << " ";
            val = val * (i - j) / (j + 1);   // अगला number
        }
        cout << endl;                 // हर row के बाद नई line
    }
    return 0;
}

Output:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

बाहरी loop i हर row संभालता है; अंदरूनी loop j उस row के numbers print करता है। हर row val = 1 से शुरू होती है, और formula चलते-चलते अगला number निकालता है।

Formula कैसे काम करता है

पिछली row store करने के बजाय, हम हर number को पिछले से बनाते हैं:

val = val * (i - j) / (j + 1);

यह binomial coefficient shortcut है। 1 से शुरू करके, यह row में सीधे अगली value बनाता है। Row 4 के लिए: शुरू 1, फिर 1×4/1 = 4, फिर 4×3/2 = 6, फिर 6×2/3 = 4, फिर 4×1/4 = 1 — मिलता है 1 4 6 4 1।

Dry run

Dry Run — Pascal's Triangle (हर row कैसे बनती है)

Row (i)	Values (formula से)
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1

💡 ऐसे समझिए

हर row 1 से शुरू होती है। अगला number पिछले से formula val * (i - j) / (j + 1) (binomial coefficient) से बनता है। हर number अपने ऊपर के दो का जोड़ भी होता है — यही Pascal's Triangle का दिल है।

आम गलतियाँ

val गलत reset करना। हर row की शुरुआत में val = 1 set कीजिए, सभी rows से पहले एक बार नहीं।
Integer division का क्रम। val * (i - j) / (j + 1) लिखिए (पहले गुणा) ताकि integer division सटीक रहे।
गलत inner loop सीमा। Row i में i + 1 numbers होते हैं, तो j को 0 से i तक (समेत) loop कीजिए।
Newline भूलना। हर row के बाद endl print कीजिए, वरना सारे numbers साथ जुड़ जाते हैं।

सारांश

Pascal's Triangle: किनारे 1 हैं, अंदर का हर number ऊपर के दो का जोड़।
Nested loops इस्तेमाल कीजिए — बाहरी rows को, अंदरूनी row के numbers को।
हर row को val = 1 से शुरू कीजिए और अगले number को binomial formula से।
Row i में i + 1 numbers होते हैं।
Integer गणित सटीक रखने को भाग से पहले गुणा कीजिए।

आगे, और आकार अभ्यास कीजिए nested loop patterns में, या loops दोहराइए C++ loops में।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

Pascal's Triangle क्या है?

Pascal's Triangle numbers की त्रिकोणीय व्यवस्था है जहाँ हर row 1 से शुरू और ख़त्म होती है, और हर अंदर का number अपने ठीक ऊपर के दो numbers का जोड़ होता है। यह गणित में अक्सर आता है, ख़ासकर binomial expansions में।

Pascal's Triangle में हर number कैसे निकलता है?

हर number अपने ऊपर के दो numbers का जोड़ है। code में एक आम shortcut है formula val = val * (i - j) / (j + 1), जो ऊपर की row को store किए बिना पिछली value से हर row बनाता है।

हर row 1 से क्यों शुरू और ख़त्म होती है?

हर row की पहली और आख़िरी जगह पर जोड़ने को दो के बजाय सिर्फ़ एक number (एक 1) होता है, इसलिए वे 1 रहती हैं। इसीलिए पूरे triangle के बाहरी किनारे सब 1 होते हैं।

हर row में कितने numbers होते हैं?

Row i (0 से गिनते हुए) में i + 1 numbers होते हैं। तो row 0 में 1 number, row 1 में 2, row 2 में 3, वग़ैरह — triangle हर row एक-एक चौड़ा होता जाता है।

Pascal's Triangle किसलिए इस्तेमाल होता है?

Classic pattern अभ्यास होने के अलावा, यह binomial expansion (जैसे (a+b)^n) के coefficients देता है, और probability व combinations में इस्तेमाल होता है। इसे print करना सीखना मज़बूत nested-loop कौशल भी बनाता है।

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